[jī hán shù]

奇函数

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如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= - f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。
中文名
奇函数
外文名
odd function
形 式
f(-x)= - f(x)
学 科
数学
对称性
图象关于原点(0,0)中心对称
取值特点
奇函数F(X),则F(0)=0.

目录

定义 编辑

在奇函数f(x)中,f(x)和f(-x)的符号相反且绝对值相等,即f(-x)=-f(x),反之,满足f(-x)=-f(x)的函数y=f(x)一定是奇函数。例如:f(x)=x^(2n-1),n∈Z;(f(x)等于x的2n-1次方,n属于整数)

特点 编辑

1、奇函数图象关于原点(0,0)中心对称
2、奇函数的定义域必须关于原点(0,0)对称,否则不能成为奇函数。
3、若F(X)为奇函数,定义域中含有0,则F(0)=0.
4、设f(x)在I上可导,若f(x)在I上为奇函数,则f'(x)在I上为偶函数。
即f(x)=-f(-x)对其求导f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)

基本性质 编辑

1.两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。
2一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。
3两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。
4一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。
5当且仅当f(x)=0(定义域关于原点对称)时,f(x)既是奇函数又是偶函数。奇函数在对称区间上的积分为零。

例子 编辑

奇函数:F(X)=-F(-X),当在x=0处有定义时,有F(0)=0。常见的奇函数有F(X)=sinX。
偶函数图象关于Y轴对称,F(x)=F(-X),如F(X)=cosX 。
对于函数y=ax^2+bx+c(a,b,c∈R),当a=0,b=0,c=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数,当bR,a=0,c=0时,f(x)是奇函数;当a∈实数R,b=0,c∈实数R时,f(x)是偶函数。
词条标签:
自然学科 科技 理学 数学